December 19, 2023

Trouver le point optimal qui maximise l'angle de transformation

Un problème de maths simple !

Dans ce premier article de blog, on revient aux bases des mathématiques : trigonométrie, dérivées et maximum...
Ne partez pas ! Je vous promets que ce sera fun et appliqué au rugby !

J'ai eu l'idée de cet article parce que je voulais calculer la probabilité de réussite d'une pénalité ou d'une transformation. Je réfléchissais aux variables qui peuvent influencer cette probabilité : la position sur le terrain, la distance à la barre transversale ou l'angle.

Pour ceux qui ne connaissent pas bien les règles du rugby, quand un essai est marqué, l'équipe a le droit à une tentative de transformation. Le botteur prend le coup de pied dans le terrain de jeu sur une ligne passant par l'endroit où l'essai a été accordé, parallèle aux lignes de touche. Comment le botteur choisit-il la distance à laquelle prendre le coup de pied ? C'est la question à laquelle nous essayons de répondre ci-dessous.\

Une des réponses possibles est : le botteur prend le coup de pied à la distance qui maximise l'angle entre lui et les deux poteaux. Plus l'angle est grand, plus la probabilité de réussite est élevée !

Posons le problème :

Y est la distance entre le poteau droit et l'endroit de l'essai.
k est la longueur de la barre transversale, constante égale à k = 5,6 m.
θ est l'angle entre le botteur et les poteaux.
x est la distance de frappe par rapport à la ligne d'en-but.

Schéma du terrain de rugby

On peut formuler notre problème ainsi : étant donné la distance Y, on cherche x qui maximise θ.
Vous voyez, c'est un problème de maths simple ! Si on se souvient de la trigonométrie...

Retrouver la trigonométrie !

Vous vous souvenez du sinus, cosinus et tangente ? Il est temps de ressortir ces vieux amis. Comme on veut trouver x qui maximise θ, on va écrire θ en fonction de x :

tan(\theta + \alpha) = \frac{k+y}{x} \\[16pt] \theta + \alpha = Arctan(\frac{k+y}{x}) \\[16pt] \text{$\theta = Arctan(\frac{k+y}{x})-\alpha, \:$ avec $\: \alpha=tan(\frac{y}{x})$} \\[16pt] \theta(x) = Arctan(\frac{k+y}{x})-Arctan(\frac{y}{x})

Traçons θ(x) pour y = 50 m :

Tracé de θ(x)

On note X max la distance à la barre transversale qui maximise l'angle de frappe. Par le théorème de Fermat, on sait que θ admet un maximum là où sa dérivée est nulle.

Trouver le point optimal X max !

On doit calculer la dérivée $\large \frac{\partial \theta}{\partial x}$ et trouver x tel que $\large \frac{\partial \theta}{\partial x} = 0$
La dérivée de Arctan est :

Arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}

La dérivée d'une fonction composée $\frac{1}{f(x)}$ est :

- \frac{f'(x)}{f(x)^2}

On peut donc calculer la dérivée de $\theta(x)$ :

\frac{\partial \theta}{\partial x} = - \frac{(k+y)}{x^2}\times\frac{1}{1+(\frac{k+y}{x})^2} + \frac{y}{x^2}\times\frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}} \\[16pt] \Rightarrow \frac{\partial \theta}{\partial x} = - \frac{(k+y)}{x^2+(k+y)^2}+\frac{y}{x^2+y^2} \\[16pt] \Rightarrow \frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{y}{x^2+y^2} - \frac{k+y}{x^2+k^2+2yk+y^2} \\[16pt] \Rightarrow \frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{yx^2+yk^2+2y^2k+y^3+-kx^2-ky^2-yx^2-y^3}{(x^2+y^2) \times (x^2+k^2+2yk+y^2)} \\[16pt] \Rightarrow \frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{yk^2+ky^2-kx^2}{(x^2+y^2) \times (x^2+k^2+2yk+y^2)}

On cherche maintenant x tel que $\large \frac{\partial \theta}{\partial x} = 0$

\begin{aligned} \frac{\partial \theta}{\partial x} = 0 \\[16pt] \Rightarrow kx^2 = yk^2 + ky^2 \\[16pt] \Rightarrow x^2 = yk + y^2 \\[16pt] \Rightarrow x_{max} = \sqrt{y^2 + yk} \end{aligned}

On a trouvé la formule du point optimal ! Pour un essai marqué à 10 m du poteau droit, la distance qui maximise l'angle est :

\begin{aligned} x_{max} = \sqrt{10^2 + 10\times5.6} = 12.5\text{ m} \end{aligned}

Traçons la distance optimale en fonction de y :

X Max en fonction de y

Cette équation est valable quand l'essai est marqué à droite ou à gauche des poteaux. Elle diffère quand l'essai est marqué entre les poteaux.

Calculons l'équation d'angle pour ce cas :

Schéma mathématique quand l'essai est marqué entre les poteaux

On a :

\begin{aligned} k = a+b = 5.6\text{ m} \\ \theta = \alpha + \beta \\[16pt] tan(\theta) = \frac{tan(\alpha)+tan(\beta)}{1-tan(\alpha)\times tan(\beta)} \\[16pt] \Rightarrow tan(\theta) = \frac{\frac{a}{x}+\frac{b}{x}}{1-\frac{ab}{x^2}} \\[16pt] \Rightarrow tan(\theta) = \frac{kx}{x^2-ab} \\[16pt] \Rightarrow \theta = Arctan(\frac{kx}{x^2-ab}) \end{aligned}

Cette fonction n'est pas définie pour $x=\sqrt(ab)$ car le dénominateur serait nul. Traçons-la pour a = 2 m :

Tracé de θ(x)

La fonction tend vers 90 degrés quand x tend vers $\sqrt(ab)$ par la droite. Assez de calculs, mettons tout ça ensemble et traçons les points optimaux sur le terrain !

Un résultat convaincant

J'ai calculé X max pour chaque valeur de y (de 0 à 70 m, la largeur d'un terrain de rugby). Voici le résultat :

Distance optimale qui maximise l'angle

Bien sûr, l'angle n'est pas la seule variable à prendre en compte. Quand l'essai est marqué entre les deux poteaux, la distance optimale calculée semble trop faible. Les joueurs tiennent compte de la hauteur de la barre transversale (3 m) et de la distance à la ligne d'en-but.

Il serait intéressant de savoir comment les joueurs se positionnent réellement pour botter une transformation ou une pénalité… Ont-ils la formule en tête ? Voici toutes les transformations bottées lors de la Coupe du monde de rugby 2023. Sans surprise, on constate que les joueurs choisissent une distance de frappe très proche de la distance optimale calculée !

Rugby world cup 2023 conversion coordinates

Coordonnées des transformations de la Coupe du monde 2023

Cet article était une bonne mise en jambes ! Dans le suivant, on continuera à explorer la science des coups de pied au rugby : on cherchera à construire un modèle prédisant la probabilité de réussite à partir des coordonnées de frappe !

Merci d'avoir lu !